temel bir kaç ispat bilgisi.üs alırken üssü kelimesini kullanacağım.çünkü shift tuşunun diğer tuşla koordinasyon eksiliği var

x üssü n.x üssü m=x üssü(m+n)
ispat
x üssü n.x üssü m=x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.=x üssü(m+n)
=(x.x....m tane x).(x.x..n tane x)
---------------------------------------------------------
0<a<b ise ve a üssü n< b üssü n
ispat
0<a<b ise a-b<0
a üssü n- büssü n=(a-b).(a üssü(n-1)+a üssü (n-2)+ a üssü(n-3)......
.......+b üssü(n-1).
burada eşitliğin ikinci kısmı a ve b pozitif olması sebebi ile ikinci kısım pozitif.
o halde a üssü n-b üssü n<0 ise a üssü n< b üssü n
---------------------------------------------------------
a üssü n.b üssü n=(a.b)üssü n
ispat
a üssü n.b üssü n=a.a.a.a.a.a.....a.b.b.b.b.b...b(n tane a ve n tane b)
(a.b)(a.b).(a.b)..........................(a.b)=(n tane ab)
(a.b)üssü n
--------------------------------------------------------------------
a>1 ise n<m a üssün <a üssü m
ispat
0<1<a yi kullanıyoruz.(yukarıda gösterdiğimiz eşitlikten faydalanıyoruz.)
1 üssü(m-n)<a üssü(m-n)=1.a üssü n.<a üssü (m-n). a üssü n
a üssü n> a üssü m
--------------------------------------------------------------------------
a üssü- n/ b üssü -m=b üssü m/a üssü n
ispat
(a üssü -n/1).(1/ b üsü -m)=(1/ a üssü n).(b üssü m/1)=b üssüm/ a üssü n
--------------------
.
to be contınued:3D_NG:

çok basit ve güzel bir ispat daha.
herhangi bir tek tamsayı ile çift tamsayının toplamı tektir.
ispat=
şimdi biztek bir tamsayı ile çift tamsayını toplamının tek olduğunu ispat etmeye çalışacağız.
tek sayımız a olsun.
çift sayımızda b olsun
a tek olduğuna göre a=2k+1 yazabiliriz.(k ne olursa olsun a tek çıkar.çünkü 1ile topluyoruz)
b çift sayı olduğu için onada b=2m diyelim.(m kaç olursa olsun b çifttir)
not(buradaki k ve m sayıları tamsayıdır)
şimdi a ve b yi toplayalım.
a=2k+1 idi.
b=2m idi.şimdi a+b yi bulalım.
a+b=2k+1+2m=2m+2k+1=2(m+k)+1
2(m+k) ifadesi 2 ile çarpıldığını için çift olacaktır.1 ile toplanınca tek sayı olur
o halde a+b=2(k+m)+1 den teksayıdır.

görüldüğü gibi oldukça kolay

m sayısı pozitif ise bu sayının ardışığıda pozitif olmalıdır
ispat.
m>0 ise m+1 de >0 olmalıdır.biz bunun ispatını yapmaya çalışalım.
biz farzedelim ki m+1<0. o halde m<-1 olur.
-1<0 olduğu için m<-1<0 yazabiliriz.yani m<0 olur.yani m+1<0 ise m<0 dır.
m>0 ise m+1>0 olmalıdır

cesaret edip kimse mesaj yazmıyor :) nasıl derler? 'Anladıysam arab olayım'.. kusura bakma yapıcı bir yorum getiremiyorum bana uzak bir dal.

düşünmen bile yeter

matematiğe yeni başlayan arkadaşlar ispat ile öğrenirlerse çok güzel yönden matematiğe yaklaşmış olacaklar.

şimdi olmasada yıllar sonra foruma girecek arkadaşlardan birisi bile bunlardan herhangi birinden faydalanırsa bir ölçüde yapmak istediğimi başarmış sayacağım kendimi

aslında (hiç abartmaadn söylüyorum) rahatlıkla ilköğretim öğrencisi bunları anlayabilir.ama gerçekten anlamayan arkadaşlar anlamadıkları kısımları sorabilirler.
ama yinede herkes matematiği sevmek zorunda değil tabiki

bu ispatları zamanla çoğaltırız.çok zevkli.1.mesajdaki ispatlar değerli matematikçi recep yücesan kaynaklı.
2.ve 3.ispatlar gültekin buzkan kaynaklı.
aslında (hiç abartmaadn söylüyorum) rahatlıkla ilköğretim öğrencisi bunları anlayabilir.ama gerçekten anlamayan arkadaşlar anlamadıkları kısımları sorabilirler.
ama yinede herkes matematiği sevmek zorunda değil tabiki
hiç birşey anlamadım desem:3D_NG (6) aslında biraz kendini verince anlaşılmayacak birşey değil matematik.
örneğin ben liseden sözel bölüm çıkışlıyım.ama okuduğum bölüm sayısaldı.mukavemet ve statik diye iki bela dersimiz vardı.ilk yıl çaktım ikisindende ikinci alışımda biraz üstüne düştüm düştükçe sevmeye bile başladım ve iyi bir notla geçtim.

hiç birşey anlamadım desem:3D_NG (6) aslında biraz kendini verince anlaşılmayacak birşey değil matematik.

ya tabi matematiği bilim yerine koymayanlarda var.kimileri felsefe gibi ayrı bir sahaya koyuyor.ben en çok fiziği severim
teorik fizik
ama matematikte güzel

iki negatif sayının çarpımı neden pozitif olur?
zor ama güzel bir ispat sorusu..bilen var mı?
bir düzeltme yapayım aslında çoğu matematik hocası bile kolay kolay bu ispatı yapamaz.bir kaç yönden ispatı yapılabilir.ben kolay ve güzel olduğuna inandığım bir ispat seçtim

pekala , güzel olduğuna inandığım(ve de çok basit)bir ispat (lütfen matematik bilmeyenler bile dikkat etsinler.)
A gibi bir sayımız olsun.
bu sayı x ve y iki rakam olsun
A=x.y+(-x).y+(-x).(-y) olsun.
şimdi eşitlikte ikinci kısmı (-x) parantezine alalım
A=x.y+(-x).(y+(-y)) şimdi y ile -y nin toplamı 0 olduğuna göre
A=x.y+(-x).(0)=(-x) ile 0 ın çarpımı 0 olduğu için
sonuç
A=x.y+0 haline gelir A=x.y
şimdi aynı işleme yeni baştan dönelim
A=x.y+(-x).y+(-x).(-y) şimdi bu seferde sol taraftan y parantezine alalım.
A=y(x.(-x))+(-x).(-y) sol taraftaki x ile -x in toplamı 0 olacağı için
A=y.(0)+(-x).(-y)şimdi 0 ile y nin çarpımı 0 olacağı için
A=0+(-x).(-y) den
A=(-x).(-y) olur.
biz yukarıda ilk işlemde A=x.y bulmuştuk.şimdide A=(-x).(-y) bulduk.her ikiside aynı sayı yani A .o halde
x.y=(-x).(-y) dir.
demekki negatif iki sayının çarpımı pozitiftir

çok bilinen bir teorem .(^ ifadesini üs manasında kullanıyorum.2 üssü2=2^2 gibi)
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy
bunun ispatı çok kolay
(x+y)^2 demek iki tane(x+y) nin çarpımı demektir.
(x+y)^2=(x+y).(x+y) şimdi birinci parantezdeki x i,ikinci parantezdeki x ve y ile çarparsak daah sonra birinci parantezdeki y yi ikinci parantezdeki x ve y ile çarparsak x^2+^y^2+xy+xy olur.toparlarsak x^2+y^2+2xy

şimdi başka bir ispat daha.
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
şimdi bu formülün ispatını yapalım
((a+b)+c)^2 yazabiliriz.her iki tarafın(x+y)^2 deki gibi açılımını yapalım.
(a+b)^2+c^2+2.((a+b).c)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

izmirksk paylasimin için sagol. Mühendis olmam sebebiyle çogu ispatlari biliyordum, fakat biri haricinde: O da "iki negatif sayinin çarpiminin pozitif olmasi" . Gerçekten güzel bir ispatti.
Ben daha çok türev, integral,determinant, limit vb gibi yüksek matematik konulari ile ilgileniyorum. Bu tür konularla ilgili ispatlar mevcutsa paylasabilir misin? Tesekkürler...

sağol memço
aslında bahsettiğin konular ile ilgili ispatları da çok severim sadece forumdaki arkadaşlar için çok ağır olur diye düşünmemiştim.
bundan sonra onlardan gideriz

trigonometride çok temel ve basit bir ispat.(maalesef şekil olmayınca anlatarak gideceğim)
sin^2 A+cos^2 A=1
yani sinkare A+coskare A=1
ispat.bir dik üçgen çizersek hipotenüs 1, A açısının karşısındaki s,A açısının kenarındaki uzunluk ise b olsun.dik üçgende hipotenüs iki dik kenarın kareleri toplamına eşit olduğuna göre
1=s^2+b^2

sinA=(KARŞI/HİPOTENÜS)=s/1
cosA=(KOMŞU/HİPOTENÜS)=b/1
şimdi sinA ile cosA nın karelerini alırsak sin^2 A= (s/1)^2=s^2
cos^2 A=(b/1)^2=b^2

biz s^2+b^2=1 demiştik(dik üçgene göre)
sin^2 A+cos^2 A=s^2+b^2=1 den
sin^2 A+cos ^2 A=1
şekil çizebilsem daha iyi olurdu belki ama elimden geldiği kadar her safhayı anlatmaya çalıştım
zaten basit bir ispat

şimdi x gibi bir reel sayımız olsun.
çoğu kez karşılaşmışızdır 4^0=1,6^0=1 yani x herhangi bir reel sayı ise x^0=1
peki ama neden üssü 0 olunca sonuç 1
ispatını yapmaya çalışalım
x^(a+b)=x^(a).x^(b) olduğunu biliyoruz.yani tabanlar aynı ise bu sayıların çarpımında üsler toplanır.
o halde şöyle yazabiliriz.
x^(a+0)=x^(a).x^(0)=x^(a) yani kısaca aynı şeydir bu üçü.
x^(a).x^(0)=x^(a) ise x^(0) işlemi değiştirmiyor.demekki x^0 =1 dir

çok bilinen bir formül
1+2+3+....n=n.(n+1)/2
peki ama neden böyle bir formül uyguluyoruz?
bunun çok ama çok güzel bir ispatı vardı unuttum:36_1_48:
ama bir örnekle en azından tanımını yapmaya çalışayım
1+2+3.....98+99+100=?
formüle göre , n=100 o halde 100.101/2=5050
peki ama neden?
dediğim gibi ispatını unuttum ama genel bir tanım yaparsam mantığı kavranabilir
1+2+3+4+5...98+99+100=?
şimdi ilk rakam ile son sayı,ikinci rakam ile sondan ikinci sayı,üçüncü rakam ile sondan üçüncü sayıları......yani bu şekilde toplayalım
1+100=2+99=3+98=4+97=5+96=6+95=......dikkatimizi ne çekiyor?
hepsinin birbirine eşit olduğu değil mi?
o halde 100 sayı vardı bu birbirine eşit 50 çifte dönüştü.
her birinin toplamı 101 olan 50 sayı.101.50=5050
formüle göre n.(n+1)/2=100.101/2=50.101=5050
evet olayın mantığı budur :36_1_12:

peki çok bilinen ve en kolay ispatlardan birisi
hepimiz biliriz,2,3,4,5,6,..ile bölünme kurallarını
mesela 2 ye bölünme ile ilgili kural.sayının son rakamının çift olmasıdır.
yani son rakam 0,2,4,6,8 ise o sayı 2 ye bölünür.
32658,454570,4547656 gibi...
son rakam 0,2,4,6,8 sayılarından birisi ise o sayı 2 ye bölünür.diğer rakamları kurcalamanın anlamı yok.peki ama neden?
ispatını şöyle yapabiliriz.2 yada daha fazla haneli(zaten tek haneli olanlarda yani 0 dan 9 a kadar olan sayılarda hangilerinin 2 ye bölündüğü malum)
şimdi 10x+y sayımız olsun.(dikkat-nasıl bir sayı seçerseniz seçin buna uyar.hepsinde 10 un katı olacak .isterseniz deneyin-)
şimdi x hangi pozitif tamsayı olursa olsun 2 nin katı olacaktır.o halde geriye kalan y dir.y ise 0 dan 9 a kadar olan rakamlardan birisi olduğuna göre bu y sayısı 2 ye bölünüyorsa o sayı 2 ye bölünüyordur.
bütün bunlar ezbere açılan bir savaştır:36_5_7:
artık ağır ağır daha ileri matematik konularına geçebiliriz

işte hoş bir ispat
lim Y, 0'a giderken lim(Y/Y)=1 dir.(bu sefer bu ispatı yapabilecek bir arkadaşı bekleyeyim biraz)
ispatı?

Burada normalde y yerine 0 yazarsak 0/0 belirsizliği ortaya çıkar. Bu nedenle öncelikle bölme işlemi yapılır ve y’ler sadeleşir. Sonuçta lim y, 0’a giderken (1) ifadesi geriye kalır. Sabit sayının limiti ise yine o sabit sayıya eşit olacağından cevap 1’dir.

*Normalde bu yazıda formülleri Word de Microsoft Denklem 3.0 özelliğini kullanarak yazmıştım. Fakat kopyala yapıştır yapınca formüller gözükmedi. Bu nedenle böyle yazmak zorunda kaldım.

burada yanlışlık olmuş.büyük dalgınlık
lim Y 0 a giderken sin y/y
yani ikinci y paydada ve payda sin olacak.lim (sin y)/y =1 şeklinde .yani bunun ispatını yapmaya çalışacağız

bir hatırlatma yapayım
L'hospital ile çözülür ama benim dediğim ispat.L'hospital
nedir bu sonsuz/sonsuz yada 0/0 belirziliklerinde payın türevi/paydanın türevi ile çözüme gidilebilir.
lim y 0 a giderken lim sin Y/Y =1 Şimdi limitte payın ve paydanın türevleri oranından .
cos Y/1=cos 0/1=1/1
fakat ben bunu ispat olarak görmüyorum.
tekrarlayalım istediğimiz ispatı.
lim Y 0 a giderken lim sin Y/Y=1 ise ispatı nedir?kimi arkadaşlar yukarıda L'hospital kullanarak yaptığım çözüme ispat derler ama bence değil
çok güzel bir ispatı var.bakalım bilen çıkacak mı?

yukarıda istediğimiz ispatın yanında geometride çok güzel bir kaç ispatıda onun yanına ekleyelim
üçgenin iç açılarının toplamı neden 180 derecedir?
ikizkenar yamuktaki (a+c)2.h formülünün ispatı nedir?

üçgenin iç açıları toplamının 180olduğunu şöyle isbat edebilirmiyiz bilmiyorum.genede bir örnek olabilir.bir abc üçgeni çiziyoruz a noktası tepe noktası olamk kaydıyla.sonra tabana paralel ve a noktasından geçen bir paralel çiziyoruz.sonra b ve c açılarını iç ters yapıpo yukarı taşıyalım yani a açısının yanına o zaman a b ve c açısı bir doğru üzerinde olurlar .buda 180 derece olduğunu ispatlayabilir belki.genede yorum sizin hocam:)))

Yarın ilk işim bu istediğin isbatları yazmak olacak ama şimdi değil çünkü uykum geldi, ama yarına söz benden önce yazmazsalar be yazmaya çalışacağım.. onun için cevabı yazmada erken davranma derim...

Öncelikle merhaba herkese.... Öncelikle kolay soruyla başlayalım üçgenin iç acıların toplamı 180 derece konusu:

Herhangi bir ABC üçgeni çizelim ve herhangi bir kenar olan [AC] // ED olacak şekilde b köşeşincen geçen bir dogruyu çizdik...

Bu çizdiğimiz dogruyla üç açı elde ediyoruz ve biri B açısı digeri Birisi C açısının iç ters açısı Digeri ise A açısının içters açısı oldugundan bu üç açıyı bir dogru üzerine taşınmış oluyor ve de bu zaten 180 derece oldugundan üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir denilebiliyor.....
.................

Ha bu yamukla ilgili olan soruya gelirsek yanılmıyosam yamuk bir soru... Liseeeeee yıllarından böle bişeyler hatırlıyorum ama ezbercibir yetiştirme tarzımız oldugu için isbat kısmı 0

bu arada gece galiba çok uykuluydm bundan önceki mesajı yazarken. yarım ederim demişim de öle kolay değil.....

biz gine cevap işini izmirksk kardeşimize bırakalım o zaman... Yiğidi öldür ama hakını yeme demişler dimi ?

teşekkürler önemli olan çaba göstermek tabi.ya aslında arada bir geometri ispatlarıda yapmak lazım.bir çok formülün isbatını yaparak geometriyi kolaylaştırabiliriz
bu arada limit li sorunun ispatı?

dostum beni aştı ben çıkamadım işin içinden hem çıkabilsem bile bunu yazıya dökmek de ayrı bir ızdırap oluyor valla.. Matematik anlatmayla pek olmuyor çizmek göstermek gerek özelikle geometri ve ben bunları yazıya dökerken zorlanıyorum. Açıkcası anlatılanları kafamda canlandırırken de zorlanıyorum.. Matemetik konularını sevmeme ragmen... Bunun için bir kolay yol buluna bilirmi bilmiyorum...

İsbat konusunu babama mı sorsam acaba.. Nasıl olsa 24 yıllık matematik öğretmeni :))))

ben de limitli ifadenin isbatını nasıl göndereyim bilmiyorum yada geometri ispatlarını
belki word dosyası haline getirip göndermek yada buna benzer bir şey denemek lazım

Ben anlaşılabilmesi daha kolay olur diye.. bir fikir işte

güzel bir ispat
A.O>=G.O evet ama neden?bir başka deyişle
aritmetik ortalama>=geometrik ortalama neden?(>= büyük eşit manasında)
ispatı y>0 olsun.ve y gibi sayı(yada rakamlarımız) y1üy2..yk(yani k kadar sayımız olsun)
A.O=(y+y1..yk)/k
yani aritmetik ortalamada kaç tane sayımız varsa onları toplayıp sayı(yada rakam) adedine bölüyoruz.
aynı sayıların G.O=(y.y1.y2...yk) üssü 1/k
şimdi y>0 ise demiştik.biz en düşük ihtimalle 1 i alalım
ve G.O=1
(y-y1)üssü2>=0 dır .açalım üssü= y üssü2 - 2y.y1+y1 üssü2>=0
y üssü2 +y1 üssü 2>=2 y1.y2
yani 2 sayının çarpımı 1 ise toplamları en az 2 dir
bu bağlamda
(y+y1+..yk)/1>= k dan yola çıkarak 1 yerine G.O yazabiliriz
(y+y1...yk)/G.O>=k
şimdi her iki tarafı G.O ile çarpalım ve k ile bölellim
sonuç
(y+y1+y2.....yk)/k>=G.O
bir başka deyişle A.O>=G.O

:3D_NG (29 :3D_NG (9) :3D_NG: :3D_NG (5) :garibbak: :3D_NG (23 :3D_NG (22 :3D_NG (26 :yamukgul:

sorunum olursa size gelirim ...

bir şey anlamadım ama bekleriz

güzel bir ispat daha
lim k sonsuza giderken a üzeri k=0
ispatı (bence çok zor )
ama belki pratik ispat yapan bir arkadaş çıkar

Birazda zor çıkar gibime geliyor ama umarım çıkar..:)

bir hatırlatma yapayım
L'hospital ile çözülür ama benim dediğim ispat.L'hospital
nedir bu sonsuz/sonsuz yada 0/0 belirziliklerinde payın türevi/paydanın türevi ile çözüme gidilebilir.
lim y 0 a giderken lim sin Y/Y =1 Şimdi limitte payın ve paydanın türevleri oranından .
cos Y/1=cos 0/1=1/1
fakat ben bunu ispat olarak görmüyorum.
tekrarlayalım istediğimiz ispatı.
lim Y 0 a giderken lim sin Y/Y=1 ise ispatı nedir?kimi arkadaşlar yukarıda L'hospital kullanarak yaptığım çözüme ispat derler ama bence değil
çok güzel bir ispatı var.bakalım bilen çıkacak mı?
Ben de 0/0 belirziliklerinde payın türevi/paydanın türevi ile çözüm yöntemini biliyorum.L'hospital ile nasıl çözülür bilmiyorum öncelikle L'hospital metodonu araştırmak lazım.

ikizkenar yamuktaki (a+c)2.h formülünün ispatı nedir?
Sanırım burada [(a+c)/2]*h denmek istenmiş.
Öncelikle ikizkenar yamukta çizilen köşegen yamuğu iki üçgene ayırır ve bu iki üçgenin yükseklikleri eşit ve h'dır.Bu nedenle yamuğun alanı bu iki üçgenin alanları toplamına eşittir. Bu üçgenlerin taban uzunlukları a ve c dir. Şimdi üçgenin alan formülüne göre yamugun alanını hesaplayalım:
Üçgenin alanı=(Taban uzunluğu*Yükseklik)/2
Alan(yamuk)=(a*h/2)+(c*h/2)=[(a+c)/2]*h

Burada (a+c)/2 ikizkenar yamuğun orta taban uzunluğuna eşittir.


güzel bir ispat daha
lim k sonsuza giderken a üzeri k=0
ispatı (bence çok zor )
ama belki pratik ispat yapan bir arkadaş çıkar

Buradaki a sabit bir sayımı yoksa bir fonksiyon mu? Tanım aralığı nedir? Önce bunları açıklamak lazım.

Bir ispat sorusu da ben sorayım:

limit (n sonsuza giderken)[1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/(n*(n+1))]=1

ispat?

evet memço açıkçası ilk sorduğum limit sorusundaki (lim y ile ilgili soruyu kastediyorum)ben o isbatı ispat olarak kabul etmiyorum.yani biraz ispattan ziyade tanım yada çözüm gibi geliyor.elimde sorduğum o sorunun güzel sayılabilecek bir ispatı var.ama o ispattada biraz pürüz var.henüz yanlış olabileceğini yada eksik olabileceğini düşündüğüm noktalar var.onları netleştirirsem ispatı göndereceğim
---------------------------------------------------
.
-------------------------------------------------
ikizkenar yamukta evet (a+c)/2.h idi .

Buradaki a sabit bir sayımı yoksa bir fonksiyon mu? Tanım aralığı nedir? Önce bunları açıklamak lazım demişsin
----------------------------------------
evet memço hatırlatman iyi oldu a ile kastettiğim 0 ile 1 arasında herhangi bir sayı
istediğin gibi alabilirsin
çok zor isbat bence
çok pratik şekilde ispatını yapabilecek çıkarsa süper olur

Bir ispat sorusu da ben sorayım:

limit (n sonsuza giderken)[1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/(n*(n+1))]=1

ispat?
* işareti ile çarpmayımı kastediyorsun?
----------------------------------------------------------ayrıca çok hoş bir ispat daha sıkıştıralım(bakalım hepsini daha sonra nasıl toparlayacağız)
kosinüs teoremine göre,(üçgenin a,b ve c kenar uzunlukları olsun) bir ABC üçgeninde
a üssü2=b üssü2 +c üssü2 -2bc.cosA
b üssü2=a üssü2+ c üssü2-2ac.cosB
c üssü2=a üssü2+ b üssü2-2ab .cosC
bununda isbatını isteyelim.buda çok zor değil

* işareti ile çarpmayımı kastediyorsun?


Evet buradaki * işareti çarpma işareti yerine kullanımıştır.

Bir ispat sorusu da ben sorayım:

limit (n sonsuza giderken)[1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+....+1/(n*(n+1))]=1

ispat?
verdiğin ifadeyi şöyle açabiliriz.
(1/1)-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)........(1/n)-1/(n+1)
bu ne demektir?
şu demektir ki ilk 2 ifadeyi ondan sonrada diğer 2 ifadeyi yani bu şekilde ifadeleri payda eşitleme ile gidersek senin yazdığın çıkar.
ve yine bu bize şunu gösterir ki ilk ifade olan 1/1 ile son ifade olan 1/(n+1) hariç diğer ifadelerin hem pozitifi hemde negatifi var.bunlar birbirini götürür
geriye (1/1)-1/(n+1) kalır.payda eşitlersek n/(n+1) dir.
şimdi soruya dönelim
lim (n sonsuza giderken)[n/(n+1)]=1 bizden istenendir
burada dikkatimizi ne çekiyor?
elbette meşhur sandwich teoremi.ne idi bu teorem
lim a sonsuza giderken f(a)=a/(a+1)
yani burada a ekmek dilimi f ise sandwich
bu teoreme göre verilen(sandwich teoremine göre) verilen ifade 1 eşittir
aslında bu konuya değinmek iyi oldu.sandwich teoremi limitte ispatta çok önemli bir yere sahiptir ve benim sorduğum limit sorularından 1 taneside sandwich teoremi ile kanıtlanabilmekte
sanırım sandwich teoreminin ne olduğu nasıl olduğu ve nerelerde kullanıldığı ile ilgili derin bir bilgi vermek lazım
bu sayede limitle ilgili çok zor ispatlar çözülebilir

şimdi sıra bundan önce sormuş olduğum soruya geldi
limit k sonsuza giderken a üssü k =0
0<a<1 yani a, 0 ile 1 arasında herhangi bir sayı
ispatı?
b gibi bir sayımız olsun ve bu sayı 0 dan büyük herhangi bir sayı olsun
yine c gibi bir sayımız olsun bu sayıda (1-a)/a olsun
burada a, 0 dan büyük 1 den küçük herhangi bir sayı demiştik.
şimdi birde d gibi bir sayımız olsun ve bu sayıda 1/c den büyük olsun.
e ise b>=1/e ifadesini sağlasın.
y ise (e-1)d olarak alalım.
biz neyi arıyorduk lim k sonsuza giderken a üssü k =0
şimdi a üssü k=1/(1a)üssü k=1/((a+(1-a))/a)üssü k=1/(1+(1-a)/a)üssü k
=1/(1+c)üssü k =< 1/(1+y.c)=1/(1+(e-1)d.c)=<1/(1+(e-1)=1/e=<b
verdiğimiz her şeyi kanıtladık.
demekki 0<a<1 ise limit k sonsuza giderken a üssü k=0
kimi arkadaşlara göre kolay gelebilir ama bence bu zor bir isbattı.

0! neden 1 e eşittir?(0 faktöriyel neden 1 e eşittir?)
öncelikle şunları verelim.
5!=5.4.3.2.1
4!=4.3.2.1
3!=3.2.1
fakat burada sorulması geren soru 0! in neden 1 e eşit olduğudur?
ispatını yapacak birisi belki çıkar

herkesin cevaplayabileceği (yani herkesin ispatlayabileceği) çok güzel basit ama çok tatlı bir ispat
herhangi bir tek sayının karesi 4 e bölünürse kalan 1 dir.
ispat?

kolay bir soru idi son sorunun ispatını ben yapayım
mesela a =2k+1 olsun
yani a tek sayı.şimdi tek sayının karesi 4 e bölününce 1 kalır mı buna bakalım
a nın karesini alalım a=2k+1 olduğu için 2k+1 in karesini alalım
4küssü2+4k+1 ilk iki ifade 4 ile bölünür geriye kalan 1 dir.
yani tek sayının karesi 4 e bölününce kalan 1 dir

0! neden 1 e eşittir?(0 faktöriyel neden 1 e eşittir?)
öncelikle şunları verelim.
5!=5.4.3.2.1
4!=4.3.2.1
3!=3.2.1
fakat burada sorulması geren soru 0! in neden 1 e eşit olduğudur?

aslında buna tanım gereği demek daha doğru olur.
mesela a-b-c-ç-d-e harfleri ile anlamlı/anlamsız farketmez 6 harfli kaç kelime yazılır dersem formül 6!=6.5.4.3.2.1=720 dir.
bir de şöyle bir teoremimiz vardı.
s=<k olsun.her ikiside doğal sayı ise k kelimesi ile her harf bir defa kullanılmak şartı ile kaç tane s harfli kelime yazarızın formülü k!/(k-s)! dır
şimdi 6 harfli kelimemize geri dönelim.6 harfli kaç kelime yazabiliriz
k=6
s=6
neden ikisi aynı? çünkü hepsini kullanmamızı istiyor
formül 6!/(6-6)!=6!/0!=720
yani 0! için tanım da diyebilirizburadanda görüyoruz ki 0!=1

bir diğeride şu.
k öğeli bir kümenin alt küme sayısı 2 üzeri k dır.
bir örnekle açayım.mesela 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 üssü 4dür.yani =16
ispat?

ilk ispat sorusunu sildim ikincisi ise yerinde duruyor
bu küme sorusunun ise çok güzel bir ispatı var

k öğeli bir kümenin alt küme sayısı 2 üzeri k dır.
bir örnekle açayım.mesela 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 üssü 4dür.yani =16
ispat?

Bunun çözümü bildiğim kadarıyla kombinasyona dayanır. Ben de verilen k=4 örneğine dayanarak bunun ispatını yapmaya çalışayım.

Öncelikle k=4 olduğu için alt kümelerimiz 4,3,2,1 ve 0 elamanlı olabilir.Yani alt kümedeki eleman sayısı <=k olmak zorundadır. Buna dayanarak bu alt kümelerin sayılarını kombinasyonla hesaplayalım:

4!/[(4-4)!4!]+4!/[(4-3)!3!]+4!/[(4-2)!2!]+4!/[(4-1)!1!]+4!/[(4-0)!0!]
=1+4+6+4+1=16=2^k=2^4

Bu ifadeyi herhangi bir k>=0 sayısı için de genelleştirebiliriz.

Burada dikkat edilmesi gereken bir husus da şu:
k=4 için hesaplama şu şekildeydi:1+4+6+4+1
Aynı şekilde k=5 için :1+5+10+10+5+1

Bu ifade bildiğimiz gibi binom açılımını çağrıştırıyor:
Binom açılımı ya da pascal üçgeni:
k=0.....................................1......... .................=2^0
k=1...................................1....1...... ................=2^1
k=2................................1.....2....1... ................=2^2
k=3..............................1...3.....3...1.. ...............=2^3
k=4............................1...4....6....4...1 ...............=2^4
k=5..........................1...5...10...10...5.. 1.............=2^5
k=6........................1...6..15...20...15..6. .1..........=2^6
k=7......................1..7...21..35...35...21.. 7..1........=2^7
.
.
.

Burada ilk bölümde yer alan sayılar(k=... şeklindeki ifadeler kümenin eleman sayısını) , ikinci bölümde yer alan pascal üçgenindeki her satırdaki ifade ise kümenin alt küme sayısını ifade etmektedir(Alt küme sayısı bu satırdaki rakamların toplamına eşittir. Aynı zamanda bu ifade kombinasyonla da yukarıda belirtildiği gibi hesaplanabilir.). Üçüncü bölümde ise bu satır toplamlarının 2'nin katlarına tekabül ettiği ve k elemanlı bir kümenin alt küme sayısının hesaplanmasında kullanılan formülasyonun 2^k şeklinde hesaplanabileceğini ispat etmektedir.

bunu şöylede ispat edebiliriz.
mesela kümemiz 1 elemanlı olsun.bunun alt kümeleri 1 ve boş küme olacaktır
şimdi biz şu aşağıdaki ifadeyi doğru kabıul edelim
k elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 üzeri k dır
şimdi biz k+1 elemanlı küme için düşünelim.(yani k 5 elemanlı ise biz k+1 ile 6 elemanlı,k 9 elemanlı ise biz k+1 ile 10 elemanlı kümeyi düşünüyoruz...)
şimdi k+1 elemanlı bir küme k elemanlı bir kümeyide içerir.
o halde k+1 elemanlı bir kümeyi 2 ye ayıralım.
k+1 i içerenler ve içermeyenler(yani mesela k 8 elemanlı bir küme ise k+1, 9 olur.o zaman k+1 i içerenler ve içermeyenler derken 9 u içerenler ve içermeyenler demiş oluyoruz)
k+1 i içermeyen küme k kümesidir.yani k elemanlı sayılar k+1 i içermezler.peki nedir k elemanlı sayıların alt küme sayısı.2 üzeri k(bunu doğru varsayarak ilerlemiştik)
şimdi k+1 elemanını içermeyenler k elemanlı bir kümenin alt küme sayısı.yani 2 üzeri k
şimdi k+1 i biz bunların her birisine dağıtırsak bir tane daha 2 üzeri k elemanlı alt kümeler elde ederiz.
2 üzeri k+2 üzeri k=2.(2 üzeri k)=2 üzeri (k+1)
2 üzeri k nın doğruluğunu kabul ederek yola çıktık yanlış olsa idi bir yerlerde çelişki çıkacaktı

sonsuz/sonsuz=tanımsız
peki ama neden tanımsız?

mesela 3 ile 5 arasında sonsuz reel sayı vardır(tamsayı olarak sadece 4 vardır ama ben reel sayıları kastediyorum)
8 ile 15 arasındada sonsuz reel sayı vardır fakat bu aralıklar birbirinden farklıdır
işte bu yüzden sonsuz/sonsuz=tanımsız olarak nitelendirilir
yani kabaca ve basite indirgenerek ancak bu söylenebilir diye düşünüyorum

teoremimiz şu:sonsuz tane asal sayı vardır
ispat?

teoremimiz şu:sonsuz tane asal sayı vardır
ispat?
bu ispatını nasıl yapacağım?
öncelikle 1 den büyük her sayının bir asala bölündüğünü göstermeliyiz.
k>1 olsun.eğer k asal sayı ise kendisine bölünür.
eğer asal sayı değilse 1<m<k olacak şekilde bir m sayısı vardır.m sayısı asal ise k 'yı böler.
değilse m i dolayısı ile k yı bölecek bir s sayısı vardır.1<s<m
s asalsa m yi böler, dolayısı ile k yı böler eğer değilse s yi bölecek bir y sayısı muhakkak vardır.bu sonsuza gidemeyecek bir durumdur.
gelelim teoremimize x gibi bir sayımız olsun.ve x>1 olsun.
bu sayımız 2.3.4.5.6.....(x-2).(x-1).(x)=x!
x dahil x e kadar olan herhangi bir sayıyı alın hepsi x! sayısına bölünür çünkü bunlar içeride çarpan olarak vardır.peki x!+1 sayısı x! sayısına bölünür mü? cevap-hayır.
fakat biraz önce gördük ki her sayıyı bölen bir asal sayı vardır.sonsuz asal sayı ispatı böyle bir şey işte.:3:
biraz karışık oldu hata varsa toparlarım sonra

şimdide şunun ispatını arayalım
sonsuz tane ikiz asal sayı vardır.

son yazdığımın ispatını aramayalım:3D_NG:
bende diyorum sorun nerede.ispatı yok
yani henüz kanıtlanamamış.uğraş uğraş yok:yamukgul:
çıkmıyor:36_1_27:
yani henüz matematik dünyası bunun ispatını yapamadı

fonksiyonlarla ilgili bildiğimiz bir şey var.
f:R-R
y=ax+b fonksiyonun tersi f ^-1 (x)=(x-b)/a dır.peki ama neden?
ispat=f(x)=y olduğundan f(x)=ax+b=y olduğuna göre
ax+b=y den x=(y-b)/a dır.
x=f^-1(y) olduğundan f^-1(y)=(y-b)/a dır.x ile y nin yerlerini değiştirirsek
f^-1(x)=(x-b)/a

fonksiyonlarla ilgili çok şey paylaşmak isterim aklıma gelince tabi:3D_NG: :3D_NG:

iyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy böyle bir konunun da 6 sayfa olacagini hic sanmazdim yaaaaaaa. Ighhhhhhhhhhhhhhh MATEMATIKKKKKKKKKKKkkkk....:36_1_2:

iyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy böyle bir konunun da 6 sayfa olacagini hic sanmazdim yaaaaaaa. Ighhhhhhhhhhhhhhh MATEMATIKKKKKKKKKKKkkkk....:36_1_2:
ne 6 sayfası 500 sayfa yetmez:3D_NG: :3D_NG:
istediğim kadar ispat koyarsam başka bilim teknik sitelerindeki gençleri buraya yönlendireceğim maalesef üye olduğum matematik ve bilim teknik sitelerindeki gençler, ispat eksikliğinden yakınıyorlar.ve oralarda bile yeterince ispat yok

Ufffffffffffffffffff desene, sen neymisin be? hahahaha. Gördüm ki "Matemeatik sayfalari" diye mi ne bir topigin daha var. Oda olmus 5 sayfa iggggggggggggggggghhhhhhhhhhhhhhhhhh

f(x)=(ax+b)/(cx+d)=
f^-1(x)=(-dx+b)/(cx-a)
tabi ki biz f :R-{-d/c}-R{-a/c} verilir.ama bu konudan önce biz yukarıdaki fonksiyonu ezberleriz.
gerek var mı ezbere yok tabi.
f(x)=y ise y=(ax+b)/(cx+d)= içler dışlar çarpımı ile cxy+dy=ax+b
cxy-ax=b-dy
x(cy-a)=b-dy
x=(b-dy)/(cy-a)
f^-1(y)=x olduğuna göre biz x i bulkduğumuz için f^-1 yi de bulmuş olduk.yani yukarıdaki ifadeyi f^-1(y)= b-dy/cy/a
bizden istenen ise f^1-(x)=-dx+b/cx-a
(-dx+b)/(cx/a) dır ifademiz f^-1(x) in tersidir.sabah 6.30 a gelirken benim için keyifli bir ispatoldu:3D_NG:

Ya matematik denince millet neden ıyyyyy derki....

Ya matematik denince millet neden ıyyyyy derki....

cünkü resmen iyyyyyyyyy da ondan.... hahahaha... :3D_NG:
Bence kizlar genelde matematigi sevmezler, sanatta ve yabanci dillerde iyi olurlar okulda. Erkeklerde bunu beceremez pek, onlarin kafasi fizik ile matematige daha cok calisir. Bence böyle, bilmiyom siz ne dersiniz.

Bence kizlar genelde matematigi sevmezler, sanatta ve yabanci dillerde iyi olurlar okulda. Erkeklerde bunu beceremez pek, onlarin kafasi fizik ile matematige daha cok calisir. Bence böyle, bilmiyom siz ne dersiniz.
bence değil
kızlar okul ve eğitim alanında bizden daha iyi.ama neden en iyi fizikçiler ve matematikçiler bizden çıkıyor bilmiyorum yinede genel olarak kızlar erkeklerden daha iyi tüm bilim dallarında.

ikinci dereceden denklemlerden biliyoruz ki
x1+x2=-b/a
x1.x2=c/a
|x1-x2|=diskrimimant/(|a|

ispat?

Ix1-x2I=karekök(b^2 - 4ac)/IaI
Ix1 - x2I^2=[karekök(b^2 - 4ac)^2] / IaI^2
x1^2 +x2^2 - 2x1x1 =[ b^2 - 4ac ]/ a^2
(x1 +x2)^2 - 2x1x2 - 2x1x2 =[ b^2 - 4ac] / a^2
(x1 + x2)^2 - 4x1x2= [b^2 - 4ac]/ a^2
( -b/a )^2 - 4(c/a)= [b^2 - 4ac]/a^2
b^2/a^2 - 4c/a= [b^2 - 4ac]/a^2
b^2/a^2 - 4ac/a^2= [b^2 - 4ac]/a^2
[b^2 - 4ac]/a^2=[b^2 - 4ac]/a^2
belki eksik oldu. ama birşeyler belirtiyor bu. birde yazımda hata olabilir. matematik karekterlerini nasıl yazacağımı bilmiyorum. kare kökü simgeleyen bir şey bulamadım. baştaki karekök büyük parentezi kapsıyor. ^işaretini ise üssü olarak kullandım.

|x1-x2|=karekökiçinde(b^2-4ac)/|a| istenen
x1 ne idi=(-b-(karekökiçinde b^2-4ac))/2a
x2 ne idi.(-b+(karekökiçinde b^2-4ac))/2a idi.bunları biliyoruz
şimdi bu ikisini | x1-x2| şeklinde toplayınca + ve - bler birbirini götürür.(çıkarma işleminde ikinci b pozitif olur.+ ve - ler birbirini götürür)

|x1-x2|=2.karekökiçinde diskriminant/2|a| ifadesinde 2 ler sadeleşir ve ispat ortaya çıkar.

diğer iki ispatta bu bağlamda ele alınabilir.
x1=(-b+karekökiçinde diskriminant)/2a
ve x2 de=(-b-karekökiçinde diskriminnat)/2a
olduğu için x1+x2 de 2b/2a dan =-b/a dır.
x1.x2 dede aynı temelle buluyoruz.

Ix1-x2I=karekök(b^2 - 4ac)/IaI
Ix1 - x2I^2=[karekök(b^2 - 4ac)^2] / IaI^2
x1^2 +x2^2 - 2x1x1 =[ b^2 - 4ac ]/ a^2
(x1 +x2)^2 - 2x1x2 - 2x1x2 =[ b^2 - 4ac] / a^2
(x1 + x2)^2 - 4x1x2= [b^2 - 4ac]/ a^2
( -b/a )^2 - 4(c/a)= [b^2 - 4ac]/a^2
b^2/a^2 - 4c/a= [b^2 - 4ac]/a^2
b^2/a^2 - 4ac/a^2= [b^2 - 4ac]/a^2
[b^2 - 4ac]/a^2=[b^2 - 4ac]/a^2
belki eksik oldu. ama birşeyler belirtiyor bu. birde yazımda hata olabilir. matematik karekterlerini nasıl yazacağımı bilmiyorum. kare kökü simgeleyen bir şey bulamadım. baştaki karekök büyük parentezi kapsıyor. ^işaretini ise üssü olarak kullandım.
benimki yanlışmı?:34:

cünkü resmen iyyyyyyyyy da ondan.... hahahaha... :3D_NG:
Bence kizlar genelde matematigi sevmezler, sanatta ve yabanci dillerde iyi olurlar okulda. Erkeklerde bunu beceremez pek, onlarin kafasi fizik ile matematige daha cok calisir. Bence böyle, bilmiyom siz ne dersiniz.
burda öyle degil vallaha. Helal kizlarimiza o zaman... hehehehe

burda öyle degil vallaha. Helal kizlarimiza o zaman... hehehehe
dur biraz milliyeteçilik yapayım bari
sen ne güne duruyorsun.sen ki damarlarında türk kanı olan asil bir milletin kızısın sen ki asenasın sen ki destanlarla üstünlüğü kanıtlanmış bir milletin kızısın
sen damarlarında taşıdığın bu asil kana ihanet edemezsin almanyada yaşasanda
unutma sen bir türk kızısın:36_1_41:
ve türk yenilmez,ezilmez,mağlup olmaz,köşeye sıkışmaz,baş eğmez.......:36_5_7:
şimdi yürü ergenekonların göktürklerin beslediği asena
yürü be türk kızı yürü:36_1_22: :36_1_22: :36_1_22: :36_1_22: :36_1_22:

benimki yanlışmı?:34:
ya tabiki önce emek harcamışsın emeğin için sağol
ama ispatta en güzel yol en kestirmesidir işlem uzadıkça hata yapma oranıda artar

dur biraz milliyeteçilik yapayım bari
sen ne güne duruyorsun.sen ki damarlarında türk kanı olan asil bir milletin kızısın sen ki asenasın sen ki destanlarla üstünlüğü kanıtlanmış bir milletin kızısın
sen damarlarında taşıdığın bu asil kana ihanet edemezsin almanyada yaşasanda
unutma sen bir türk kızısın:36_1_41:
ve türk yenilmez,ezilmez,mağlup olmaz,köşeye sıkışmaz,baş eğmez.......:36_5_7:
şimdi yürü ergenekonların göktürklerin beslediği asena
yürü be türk kızı yürü:36_1_22: :36_1_22: :36_1_22: :36_1_22: :36_1_22:
oooooooooooo özgürrrrrrrrrrrrrrr, sagol ya can!! Vallahi ne diyecegimi sasirdim... :34:

ikinci derecen denklemlerde x1 ve x2 nin yani
( -b+ (karekökiçinde diskriminant))/2a ile (-b-(karekökiçinde diskriminant))/2a olduğunu biliyoruz.
peki ama neden?
yani ispatı?

bir ispat isteği daha
(999999999!)^2 mi daha büyüktür yoksa (999999999)^999999999
burada n!^2 mi yoksa n^n mi
n!^2 >n^n elbette
pek ispat?

üstteki iki ifadenin ispatlarını sıra ile yapalım

eğer yapan çıkmazsa akşama her iki ispatıda yaparım çok güzel ispatlar

bir ispat isteği daha
(999999999!)^2 mi daha büyüktür yoksa (999999999)^999999999
burada n!^2 mi yoksa n^n mi
n!^2 >n^n elbette
pek ispat?
bu ispat biraz zor olduğu için bunu ben yapayım diğerini meraklısı olan arkadaşlara bırakayım
biz yukarıda hangi iki sayının büyük olduğuna bakmak istiyorduk
n>=2 için n!^2>n^n olduğunu ispat etmemiz yeterli.
n!^2>=n!.n!=(1.2.3...n).(n.(n-1)(n-2).....3.2.1)
(1.n)2.(n-1)..........b(n-b+1)..(n.1)
her bir 2<=b<n için
b(n-b+1)=(n-b).(b-1)+n>n dir
işte bu yüzden n!^2>n^n dir.

çooookkkkkk önemli bir ispat
CAUCHY-SCHWARZ EŞİTSİZLİĞİ
çok önemli bir ispat normalde çözülmesi çok zor gözüken bir çok matematik sorusunun çözümünü bir kaç adıma indiriyor.
mesela k gibi sayılarımız.k1,k2......kn(yani mesela 1,2,4,8,....değişik sayılar)
birde m gibi sayılarımız olsun.m1,m2m,m3....(k ve m sayıları derken reel syaılar olarak ele alıyoruz.sadece doğal sayı tamsayı olarak değil)
buna göre
(k1.m1+k2.m2.....kn.mn)^2=<(k1^2+k2^2+....kn^2).(m1^2+m2^2...mn^2)
bunu bir çok formülde kullanabiliriz.
ispatı
şimdi biz bir polinom olarak düşünürsek
p(x)=(k1x+m1)^2+(k2x+m2)^2....(knx+mn)^2
şimdi biz bu ifadeleri açarsak ve onları x e bağlı 2.dereceden bir denklem gibi yazmak istersek
=(k1^2+k2^2....kn^2).x^2+2(k1.m1+k2.m2+........kn. mn)x+(m1^2+m2^2...)
burada x e ne verirseniz verin sonuçlarımız negatif çıkmaz
(k1^2+k2^2....kn^2).(m1^2...mn^2)=>(k1m1+....kn.mn)^2
bu çok önemli bir eşitsizliktir.ilk başta çözülmesi çok zor gözüken sorularda çok pratik çözüm sağlar.

kolay bir ispat isteği
bezout teoremi
(bu teorem çok uzun ve karmaşıktır.bunun başlangıcı olarak alabileceğimiz bir kısmı ispatlayalım)
P(x) polinomunun (x-xo) ile bölünmesi için gerek ve yeter koşul P(xo)=0 olmasıdır?
ispat=?



(özellikle kolay kısmı seçtim çünkü sanırım artık pek giremeyeceğim foruma.aslında binlerce ispat koymak isterdim bu sayfaya ama maalesef zaman ve kendime meşgalelerim müsade etmiyor.artık bundan sonrasını diğer arkadaşlar getirirler.bu ispat kolay sanırım bir çok arkadaş yapacaktır)

geometrı ıspatlarını daha cok sevıyorum onlardan da verırsen sevınırım
bır de yıldızlı dıye tabır ettıgımız sorulardan da sec
tesekkurler

geometrı ıspatlarını daha cok sevıyorum onlardan da verırsen sevınırım
bır de yıldızlı dıye tabır ettıgımız sorulardan da sec
tesekkurler
sevgili serkant aslında gepmetri ispatlarını bende çok seviyorum ama malum şekil sorunu:yamukgul:
şu an pc de bunu destekleyecek program yok ama yinede bir şeyler yapmak lazım.yani şekil kullanmadan geometri ispatı yapılamaz
trigonometri ispatı yapabiliriz
sin^2 (a)+cos^2(a)=1
bunun ispatı ?
(hee buda şekle kaçıyor ama şekilsiz ispat edilir mi.bir bakacağım)

b açısı 90 derece olan ab ,bc ye dik olmak üzere bir üçgen düşünün(yada çizin:))
şimdi b^2=a^2+c^2 dir(hipotenüsün karesi diğer iki kenarın kareleri toplamana eşittir
biz ne dedik
sin^2(a)+cos^2(a)=1
sin a= karşı/hipotenüs =a/b
cos a=komşu/hipotenüs=c/b
sin^2(a)=a^2/b^2
cos^2(a)=c^2/b^2
sin^2(a)+cos^2(a)=1
(a^2/b^2)+(c^2/b^2)=(a^2+c^2)/b^2 =b^2/b^2=1
ispatımız tamamlanmıştır:3:

vieta ve ters vieta teoremlerini yazıp ispatlayalım mı(yalnız biraz zorlanabiliriz yani biraz kasmak gerekecek,yukarıdakilerine benzemez)
isteyen olursa boş bir günümü(evet ancak bir güne ihtiyaç var :) ona ayırıp paylaşabilirim)
ama önce benim tamamen bunların ispatı ile uğraşmam ve hazmetmem gerekecek
teoremler biraz karışık

tamam o zaman şunun ispatını yapalım
r ve n doğal sayı ise ve n >= r ise P(n,r)=n! /(n-r)!

tamam o zaman şunun ispatını yapalım
r ve n doğal sayı ise ve n >= r ise P(n,r)=n! /(n-r)!
galiba bunun ispatıda bana kaldı yine:)
n elemanlı bir küme ve birbirinden farklı r elemanlarının dizilişi
n.(n-1).(n-2).(n-3)....(n-(r-1))=(her bir ifadeyi ayrı bir bölme olarak düşünün.hepsi farklı bir bölme.r tane oda gibi düşünün yani
artık bundan sonrasını getirirsiniz(sayma kuralı devreye giriyor)

İzmirksk mod un açtığı bu bölümde bende kendimce bir ispat yapmak istiyorum gerçi biz bu konuyu okulda işledik bende defterden bir derleme yaptım ama olsun...

umarım ispat konusunda bir hata yapmamışımdır..
saygılar

paylaşım için teşekkürler zaza alevi
fakat log10^k.n diye yazılan kısım log(10^k.n) şeklinde parantez içinde yazılırsa en azından her ikisininde logaritmaya ait olduğu anlaşılır aksi takdirde n farklı bir sayı gibi algılanabilir

paylaşımlarının devamını bekliyorum
bu sayfa artık sizlere emanet

sağolasın sayın mod bende bundan sonra burda geometri ispatları yapmak istiyorum umarım bu konular diğer üyelerin ilgisini çeker.

seninle tanışmaktan çok mutlu oldum
pırıl pırıl kalbi olan bir arkadaşa benziyorsun
bir çok kişiye faydalı olacağına inanıyorum

Temel Benzerlik Teoremi:

Bu teorem benzerlik konusunun en önemlisi çünkü eğer bu konu iyi anlaşılırsa diğer formüllerde bu teoremden çıkartılıyor.Bende bu teorem ve yanında bu teoremin kanıtını sunuyorum.

İzmirksk mod a bana verdiği destekden ötürü çok teşekkür ediyorum bu forumda özellikle bilimsel konularda bana çok yardımcı oldu sağolasın mod saygılar..

kosinüs teoremine göre,(üçgenin a,b ve c kenar uzunlukları olsun) bir ABC üçgeninde
a^2=b ^2 +c ^2 -2bc.cosA
b ^2=a ^2+ c ^2-2ac.cosB
c ^2=a ^2+ b ^2-2ab .cosC
ispat=?

bir ucgende b ve c kenar, alfa aralaridaki aci olmak uzere diger kenar uzunlugu
a² = b²+c²-2.b.c.cos(alfa)'dir... ornegin alfa 90 derece oldugu zaman cos(alfa)=0 oldugundan bildigimiz a²=b²+c² olur. ote yandan vektorel olarak ele alirsak formulde kucuk bi +/- yer degi$tirecek ve a² = b²+c²+2.b.c.cos(alfa) olacaktir...

abc ucgeninde alfa b,c kenarlari arasindaki aci iken; b kosesinden b kenarina bir dikme cizilirse ve kenarla kesitigi noktaya d denirse: |ad|=c*cos(alfa), |dc|=b-|ad|, |bd|=c*sin(alfa) olarak yazilabilir.. bdc ucgeninde pisagor uygulamasiyla da:

a^2 = |bd|^2+|dc|^2 = c^2*sin(alfa)^2 + (b-c*cos(alfa))^2
a^2 = c^2*sin(alfa)^2 + b^2 - 2bc*cos(alfa) + c^2*cos(alfa)^2
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(alfa)

ote yandan vektorel olarak ele alinirsa bu, dikkat edilmesi gereken sey ucgende a kenarinin b+c vektoru degil b-c vektoru oldugudur (ya da c-b, uzunluk icin farketmez).. yani <x,y> ic carpim iken (hersey reel oldugu icin <x,y>=<y,x>):

|b-c| = <b-c, b-c> = <b,b> - <b,c> - <c,b> + <c,c> = |b|^2 + |c|^2 - 2|b||c|cos(alfa)

boylece ayni sonuca ulasilir..

buyur izmirksk mod benim kosinüs teoremi hakkında ispatlayabileceğim şeyler bunlar ama daha sonra bu konuyla ilgili değişik kaynaklardan bulur eklerim buraya saygılar...

d

a^2 = |bd|^2+|dc|^2 = c^2*sin(alfa)^2 + (b-c*cos(alfa))^2
a^2 = c^2*sin(alfa)^2 + b^2 - 2bc*cos(alfa) + c^2*cos(alfa)^2
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(alfa)

..
c^2.sin(alfa)^2 ile c^2.cos(alfa)^2 lı kısımda ne oldu?:)
(ben biliyorum ama bilmeyenelr için bir bilgi oluşturabilir)
gerçi basit ama bilmeyenelre katkımız olsun:)
bu arada zaza alevi kardeşim,teşekkürler sana
paylaşımlarının devamını beklerim
sin ile cos lü kısımda hangi işlem sadece c^2 yi bıraktı

Bu da Kosinüs Teoremi nin şekilli ispatı.İzmirksk mod geçen sefer ki ispatı ben bi yerden almıştım orda bir sorun olabilir ama bu ispat kesin ....

da:

a^2 = |bd|^2+|dc|^2 = c^2*sin(alfa)^2 + (b-c*cos(alfa))^2
a^2 = c^2*sin(alfa)^2 + b^2 - 2bc*cos(alfa) + c^2*cos(alfa)^2
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(alfa)


...
bu kısımla ilgili bir sorun yok aslında sadece kaç kişi görebilecek diye bekledim
yani yukarıdaki ifadeyi c^2 parantezine alabiliriz
c^2(sin(alfa)^2+cos(alfa)^2)
şimdi parantez içi ifade 1 e eşittir
sin(a)^2+cos(a)^2=1
o yüzden c^2(1)=c^2 olduğu için oradan sadece c^2 ifadesi aşağıya geçer

bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise
S=a.b.c/4R

S =alan (verilen üçgenin alanı)

evet bu formülün isbatı ?

bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise
S=a.b.c/4R

S =alan (verilen üçgenin alanı)

evet bu formülün isbatı ?
kolay bir ispattı ama:S

izmirksk abi son aşamaya geldim ispatta bi dakka !

inşallah iyi ispatlamışımdır bu ispatı kitapta buldum ben çıkaramadım ispatı napayım :D

işte ispat

teşekkürler zaza alevi
bunun çok süper bir ispatı daha var..paylaşırım sonra:)

evet güzel bir ispatı var :)
yokmu yazacak

izmirksk abi sende heyecanlandırma bizi versene abi cevabı :D
reyting tavana vurdu :D

bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise
S=a.b.c/4R

S =alan (verilen üçgenin alanı)

evet bu formülün isbatı ?
S=1/2.b.c.sinA (iki kenarı verilen ve bu iki kenar arasındaki açısı verilen üçgenin alanı)
şimdi birde şöyle bir ifademiz vardı
a/(sinA)=2R(bu formül sinüs teoreminin formülü..bilirsiniz a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R )-böylellikle bu teoremi hatırlamış olduk neyse_:)
a/sinA=2R idi..sinA=a/2R olur...
yukarıda en başta demiştikki S=1/2.b.c.sinA şimdi sinA yerine a/2R yazalım..
S=1/2.b.c.a/2R=a.b.c./4r olur...operasyon tamam:)

intenette böyle bir ispata rastladım doğru olup olmadığını izmirksk abime sormak istedim..

Diklerin İç teğeti ve Yükseklik
Şöyle bi şey farkettim ki herhangi bi dik üçgende hipotenüse ait yükseklik inilerek üç tane dik üçgen oluşması sağlandığında oluşan bu üç dik üçgenin iç teğet çemberlerinin yarıçaplarının toplamı üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliğine eşit.Yani hipotenüsü a diğer kenarları b ve c birim olan bi dik üçgen alsak.Hipotenüse ait yüksekliği insek oluşan üç dik üçgenin iç teğet çemberlerinin yarıçapları oranı baştaki üçgenin kenarlarının kendi arasındaki oranıdır(Çünkü tüm kenarlar bi dik üçgenin hipotenüsü olur son durumda)Öyleyse en büyük iç teğetin yarıçapı a.k diğerleri ise b.k ve c.k olsun.İki ayrı alan hesaplama formülünden: u.r=a.h/2 , [(a+b+c)/2].(a.k)=a.h/2 olur.Buradan; (a+b+c).k=h bulunur ki buda başta sözünü ettiğimiz eşitliktir.

İZMİRKSK ARKADAŞIMIZ BAZI KİŞİLER MATEMATİĞİ FELSEFENİN İÇİNDE GÖRÜYORLAR DEMİŞ.Matematİkle Felsefe Ayni Alanlarda Olmaz Bİle .ÇÜnkÜ Matematİkte HerŞey Kesİndİr. Yanİ İkİ Kere İkİ DÖrttÜr. Yanİ Matematİk Objektİftİr. Ama Felsefe Subjektİf Bİr Etkİnlİktİr. HerKeS Kendİ GÖrÜŞÜnÜ Ortaya Koyar, DİĞerİnİ EleŞtİrİr. Ama Bu GÖrÜŞlerden Hangİsİ Daha DoĞrudur Dİye TartiŞilmaz.ZATEN TARTIŞILAMAZ DA...

aslında (hiç abartmaadn söylüyorum) rahatlıkla ilköğretim öğrencisi bunları anlayabilir.ama gerçekten anlamayan arkadaşlar anlamadıkları kısımları sorabilirler.
ama yinede herkes matematiği sevmek zorunda değil tabiki


ÖNCELİKLE ŞUNU SÖYLEMEK İSTİYORUM. EVET HERKES MATEMATİĞİ SEVMEYEBİLİR. AMA MAALESEF ÖĞRENMEK ZORUNDA .ÇÜNKÜ HER YERDE MATEMATİK KARŞIMIZA ÇIKIYOR.ÖSSDE, LES TE ,KPSS DE ... YANİ İNSANIN SEVECEĞİ VARSA DA SEVEMİYOR. BEN BU DURUMA ANLAM VEREMİYORUM.HANGİ BÖLÜMÜ BİTİRİRSENİZ BİTİRİN,HANGİ ALANDA ÇALIŞACAKSANIZ ÇALIŞIN MATEMATİK BİLMELİSİNİZ.BUNUN HAKLI BİR SEBEBİ VAR MI? TÜRKÇEYİ ,INKILAP TARİHİNİ ,TÜRKİYE COĞRAFYASINI ANLIYORUM.ÇÜNKÜ BUNLAR BİZİM ÜLKEMİZİ, GÇMİŞİMİZİ BİLMEMİZ AÇISINDAN ÖNEMLİDİR.AMA NEDEN MATEMATİK:)VALLA SAYISAL ZEKAYA SAHİP OLSAYDIM MATEMATİKÇİ OLMAK İSTERDİM:)
AYRICA BEN İLKÖĞRETİME GERİ DÖNMELİYİM .ÇÜNKÜ ANLAYAMIYORUM:(
HOŞCAKALIN...:p

gulsum hanım öncelikle küçük harflerle yazmanız gerekiyor(forum kuralları açısından büyük harflerle yazmak yasak)

ilköğretime dönmenize gerek yok..bu sayfa ispat sayfası..aslında ekleyeceğim daha yüzlerce ispat var..sizin dediğiniz matematik(össde lesde kpssde çıkan) matematik! aslında matematik değildir..onlara aritmetik demeyi tercih ederim...
matematik ispattır...

bu kuralı hatırlattığınız için teşekkür ederim.bir an unutmuşum büyük harfle yazmışım.madem dediğiniz gibi aritmetik-matematik ayrımı var neden okullardaki derslere matematik dersi diyorlar. yada eğitim fakültesi çıkışlılar matematik öğretmeni olsun o halde. fen fakültesi mezunları matematik bölümünde ispat daha çok gördükleri için aritmetikçi olsun o halde...

abicim bu nedr neyin ispatıdır neden böle bişey yapma gereği duydun?

ispatlar güzel ama anlamak biraz zor oluyor. karışık gibi duruyor. ama anlayınca çok hoş

.madem dediğiniz gibi aritmetik-matematik ayrımı var neden okullardaki derslere matematik dersi diyorlar. yada eğitim fakültesi çıkışlılar matematik öğretmeni olsun o halde. fen fakültesi mezunları matematik bölümünde ispat daha çok gördükleri için aritmetikçi olsun o halde...
..
tabiki bunları keskin sınırlarla ayırmak mümkün değil...ayrıca bu sonuçta benim görüşürm(gerçi sadece benim görüşüm değil dünyanın önde gelen matematikçileride karşı..yani 5 tane şık verip sonucunu istemek değildir matematik..hepsi böyle düşünür..matematik ispat bilimidir..verilen 5 seçenekten sonuç alma işlemi değil..)
test şeklinde olunca sadece sonuç bulma işlemi haline geliyor matematik...
ve sonrada türev ne işe yararki integral ne işe yararki diyen bir gençlik yetişiyor..
hallbuki bilmiyorlarki uzaya fırlatılan roketlerde bile matematiğin bu ileri konularından faydalanılıyor...
bilgisayardan uydulara kadar her yerde var matematik...ama matematiği ezberleyenler bilmiyorlar..ezberleyenlerde matematiği sadece test tekniğine göre öğrenenler...tabi bu gerçek matematik olamdığı için gündelik yaşamda pek işe yaramıyor(ama lesde, kpssde işe yarayabilir..)
yani biliyorumki les sınavında ispatsız matematği bilenlerdende bir kısmı benimle aynı seviyelerde Türkiye derecesi yapacak..ama matematiği bilmiş olmayacaklar..
okullara gelince , elbette matematik konuları işlendiği için adı matematik...bunda bir sorun yok..sorun içeriğin doldurulamamasında ve matematiğin ezberlenmesinde

cevabınız için sağolun. birçok noktada size katılıyorum.sınavlara odaklı bir gençlik yetişiyor.tabii bu çoğunluğa bende dahilim.önemli olan öğrenmeyi öğrenmektir. kişi tabii ki ilgi duyduğu alanda kendini geliştirebilir.

size kolay gelsin, ben diger forumlari dolasiyorum:)

?
:)
önceden açmış olduğum bir konuyu hatırlattın:)unutmuştum..
aslında aklımda olan yüzlerce ispat vardı...ama matematikte ispat ağırmı kaçıyor ne..ayrıca buradaki ispatları kitaplardan ve hocalardan iyice öğrendikten sonra kafamdan yapıp yazıyordum..bu yüzden sürçü lisan ettikelrim olabilir..bir günboş zamanımda yazdığım tüm ispatları gözden geçireceğim..

kim nerde listesine bakinca gördüm konuyu....
2-3 defa misafirlerin konuyu okudugunu gördüm
en iyisi bir an evvel ispatlari gözden gecir, belki yanlis ögrenmelerine, sinavlarinda kötü notlara sebeb olursun:)

abi neyi ıspatlamaya çalışıyorsunuz anlamadım

abi neyi ıspatlamaya çalışıyorsunuz anlamadım
hehehe:)güzel bir yaklaşım..:3:
aslında en basitinden söyleyeyim.matematikte gördüğümüz formüllerin ispatı yani.

arkadaşlar uzun süredir bu sayfa ile ilgilenmiyorum..tüm ispatları gözden geçirmek zaman meselesi..eğer ilgilenen arkadaşlar olursa ,benim yaptığım ispatlarda hata görürseniz bana ulaşabilirsiniz..çünkü akıldan ispat yapmaya kalmak çok zorluyor insanı..ispat, gerçektende matematikte zevkli ama zor bir uğraş..
ayrıca matematikte bildiği ispatar olanlar bu sayfaya ekleyebilir..

ileride fırsat bulursam , 2 tane ingilizce ispat kitabından, burada olmayan ispatları araştırıp türkçeye çevirip vereceğim..maalesef çok acıdırki matematikteki kimi ispatları ,türkçe kitaplarda, arasanızda bulamazsanız yada çok zor bulursunuz..
o ispatları ,burada paylaşmaya çalışacağım..dediğim gibi bildiği ispatları olan paylaşabilir..

hehehe:)güzel bir yaklaşım..:3:
aslında en basitinden söyleyeyim.matematikte gördüğümüz formüllerin ispatı yani.
espri anlayışı yüksek birisin hoş görün için teşekkürler:thumbup1: